追放への道

425．マルコフモデルについて名前：myu    日付：2002年7月19日(金) 18時19分 はじめまして。どうしたらいいのかわからないので
質問させてください。

4人でじゃんけんをして一人の勝者を決めたい。
(1)一人の勝者が決まるまでに、平均何回じゃんけんを行うことになるだろうか
(2)2回以内で、勝者の決まる確率はどのくらいか？

一応自分で考えてみたのですが、推移確率は
｜1 0 0 0 ｜
｜2/3 1/3 0 0　　 |
｜1/3 1/3 1/3 0 |
｜4/27 6/27 4/27 13/27 |
と考えてみたのですが、これも怪しくて
なお、問題が解けません。
よろしくおねがいします。
(大学３年)

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426．Re: マルコフモデルについて 名前：myu    日付：2002年7月19日(金) 18時28分 いきなりですみません。
2番は簡単でした。
1番でとまっていたため、2番が難しく見えてました^^;;

2は
4/27+(13/27*4/27+4/27*1/3+6/27*2/3)(1-4/27)
ですね。（推移行列があってたらですが）
これも間違ってそうで怖いですが…
よろしくおねがいします

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427．未解決レスです。 名前：Ｄ・スレンダー@管理人    日付：2002年7月20日(土) 0時31分
(1)について。
私はこの分野にはサラリとしか触れたことが無いので、この種の平均値を
推移行列から求める方法を現時点で知りません。少し考えてみますが、
どなたか詳しい方がいらっしゃればアドバイスをお願いします。

推移行列はそれでよいでしょうが、(2)の確率は違いませんか。
（確率という分野は自分が勘違いしていそうな気がして怖いのですが…）
２回後の時点で１人が残っている（１回目で決定した場合を含む）確率は、
１回後の時点の状態を表すベクトル(4/27,6/27,4/27,13/27)を、
推移行列の１列目に掛けることで得られますから、
確率は4/27+(6/27)(2/3)+(4/27)(1/3)+(13/27)(4/27)だと思いますが。
（1-4/27をかけるのは何故でしょう）
http://www.dslender.com/

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428．Re: マルコフモデルについて 名前：samba    日付：2002年7月20日(土) 0時57分
私も（１）はよく分かりません。
もっと遷移行列が特殊なやさしいケースは少しかじりましたが・・・

(2)もＤ・スレンダーさんと同じく，1-4/27は不要だと思います。

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430．Re: マルコフモデルについて 名前：myu    日付：2002年7月20日(土) 12時46分
そうですね＾＾；；
いわれてみて気づきました
1-4/27は不必要ですね。
すっかり勘違いしてました。
1についてはもうチョット考えてみることにします。
どうもありがとうございました。

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431．Re: マルコフモデルについて 名前：macsyma2e    日付：2002年7月20日(土) 18時16分
(1) は「 丁度n回で勝者の決まる 」という確率変数 n の平均を求めよ．
ということでしょうから、推移確率行列のn乗を計算、若しくは、差分方程式を解いて、
n回以内で勝者の決まる確率 ＝ 1-(23/4)*(13/27)^n+(n/3)*(1/3)^(n-1)+(19/4)*(1/3)^n for all n≧1．
これを a(n) とおくと、丁度n回で勝者の決まる確率 ＝ a(n)-a(n-1)*1 for all n≧1．
よって、求める平均 ＝ Σ_{n=1}^{∞} n*(a(n)-a(n-1)*1) ＝ 45/14．

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433．Re: マルコフモデルについて 名前：myu    日付：2002年7月20日(土) 20時10分
macsyma2eさん、ありがとうございます。

>推移確率行列のn乗を計算、若しくは、差分方程式を解いて、
>n回以内で勝者の決まる確率 ＝ 1-(23/4)*(13/27)^n+(n/3)*(1/3)^(n-1)>+(19/4)*(1/3)^n for all n≧1．

ここですが、もうちょっと詳しく説明していただけませんでしょうか？
n乗計算のやり方がつかめません。非常に書くのがめんどくさいかと
思いますので、方針だけでもよろしくお願いします。

その先については、理解できました。ありがとうございました。

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434．Re: マルコフモデルについて 名前：macsyma2e    日付：2002年7月20日(土) 21時0分
n乗計算には標準形や補間多項式を用いるのが普通ですが、やや牛刀故、ここは数列のまま扱いましょう．

n 回以内に、1、2、3、4人となる確率を順に、a(n)、b(n)、c(n)、d(n) とおくと、
a(n)=a(n-1)+(2/3)*b(n-1)+(1/3)*c(n-1)+(4/27)*d(n-1)
b(n)=(1/3)*b(n-1)+(1/3)*c(n-1)+(6/27)*d(n-1)
c(n)=(1/3)*c(n-1)+(4/27)*d(n-1)
d(n)=(13/27)*d(n-1) for all n≧1 and a(0)=0、b(0)=0、c(0)=0、d(0)=1
故、d(n)、c(n)、b(n)、a(n) の順に解いて、
d(n)=(13/27)^n
c(n)=(13/27)^n-(1/3)^n
b(n)=(15/4)*(13/27)^n-n*(1/3)^n-(15/4)*(1/3)^n
a(n)=1-(23/4)*(13/27)^n+(n/3)*(1/3)^(n-1)+(19/4)*(1/3)^n for all n≧1．

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436．Re: マルコフモデルについて 名前：myu    日付：2002年7月20日(土) 22時25分
macsyma2eさん、即レスありがとうございます。
丁寧な解説でとてもよくわかりました。

自分でもやってみたところ、かなり計算量が
多くてびっくりしました。＾＾；；

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439．ご挨拶 名前：Ｄ・スレンダー@管理人    日付：2002年7月20日(土) 23時1分
>>初めて書き込みを頂いたmacsyma2eさんへ
有益な発言に感謝です。
う〜ん、今回の問題には、やはり地道が一番なのかも知れませんね。
（私は面倒な計算を回避したくて（←気弱）行列を色々といじって
行き詰まっておりました^^;）
ありがとうございました。

>>皆様へ
管理人は幸か不幸かなかなか多忙で、普段この時刻以降でないと
書き込みができません。従来と同様、今後とも、皆様の積極的な
アドバイスは大歓迎です。よろしくお願いします。
http://www.dslender.com/

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441．はじめまして 名前：macsyma2e    日付：2002年7月21日(日) 0時6分 ＞ 管理人様
どうもご挨拶が遅れました、macsyma2e と申します．

＞ 有益な発言に感謝です。
恐縮です．これからも機を見て発言させて頂きますので、宜しくお願い致します．

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498．Re: マルコフモデルについて 名前：myu    日付：2002年7月27日(土) 15時57分 今も見ている人いるかな？
どうしても、漸化式を解くのは時間的に無理があると感じ、
いろいろな本を探してみてみました。
別の解法見つけたので、興味があったら見てみてください。
計算量はかなり少なくなります。

推移行列を
|E 0|
|R Q|　=P
と置き直す。E:単位行列、0:0行列、RとQはこの場合は
R=[2/3 1/3 4/37] Q=[[1/3 1/3 6/27][0 1/3 4/27][0 0 13/27]]
と置きます。

n回目の確率行列は
P^n=[[E S][0 Q^n]]
S=(E+Q+Q^2+Q^3・・・Q^(n-1))R
となります。

ここから、吸収されるまでの期待値は
(I-Q)^(-1)となります。
(ここら辺の説明はスキャナーがあれば
添付したいのですが無いので…マルコフ連鎖
の応用の本に載ってました)

以上より(I-Q)^(-1)
=[[3/2 0 0][3/4 3/2 0][6/7 3/7 27/14]]

この問題では状態４（４人が最初からいる状態）から
出発しているので平均回数は
6/7+3/7+27/14=45/14
がでてきます。

結果だけ載せるような形になって、理論はまったく
書いてないのでまったくわからないかもしれませんが
こういう方法があるんだと感動してしまったので
のせてみました。

長文、失礼しました。

1156．線型代数学　正定値について 名前：S．T    日付：2002年12月18日(水) 0時4分
はじめまして、よろしくお願いします。

次の実対称行列は正定値であることを証明せよ。
|1　　　1/2　　　1/3 　…　　1/n　　|　　
|1/2　　1/3　　　1/4 　…　1/(n+1)　|
|1/　　 1/4　　　1/5 …　1/(n+2)　|
| :　　　:　　　　:　　　　　　 : 　|
|1/n　1/(n+1) 1/(n+2)　…　1/(2n-1)|

という問題ですが
解き方の流れが全然わからなくて困ってます。
教えてください、お願いします!!
(大学２年)

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1171．Re: 線型代数学　正定値について名前：S．T    日付：2002年12月18日(水) 22時51分 なんかうまく行列を書けてなくてすみません（＞＜）
ほんとお願いしますm(__)m

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1179．Re: 線型代数学　正定値について名前：macsyma2e    日付：2002年12月19日(木) 22時53分 1/(i+j-1)=integrate( t^(i+j-2) , t=0..1 ) なので、
sum( (x_i)*( 1/(i+j-1) )*(x_j) , i=1..n , j=1..n )
=integrate( ( sum( (x_k)*(t^(k-1)) , k=1..n ) )^2 , t=0..1 )≧0
for all real x_1,..,x_n．等式成立 ⇔ x_k=0 for all i．

1356．(untitled)   名前：アイラ    日付：2003年1月9日(木) 1時42分
X+Y+Z=2(X>=0,Y>=0,Z>=0)の時、3XYZ>=2(XY+YZ+ZX-1)が成り立つことを示せ。
という問題なのですが、どうすればいいのかわかりません。
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)を用いてもうまくいきません。やり方が悪いのか、違う方法なのか、どうか教えて下さいお願いします。
(高校２年)

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1362．Re: (untitled)名前：macsyma2e    日付：2003年1月9日(木) 19時10分
X+Y+Z=2 なる任意実数 X,Y,Z に対し、(a,b)=(X*Y+Y*Z+Z*X,X*Y*Z) とおくと、
tの方程式 t^3-2*t^2+a*t-b=0 の3根 X,Y,Z は全て実数故、
3*b-2*(a-1)≧(2/9)*(1-(4-3*a)^(3/2)) ... (01) が成立ちますが、
非自明な場合、つまり a≧1 ならば (01) の右辺は非負です． 　

3064．極限の問題名前：momomo    日付：2003年6月7日(土) 18時4分
関数f(x)は任意の実数x、hについて
e^(x+h)f(x+h)-e^xf(x)≦h2
を満たすとする
┃e^(x+h)f(x+h)-e^xf(x)┃≦h2も成り立つことを示す。
f(0)＝１としてf(x)を求める。
この2問ですがどうやればいいのか全くわかりません。
微分の定義式の形によく似ているというのはわかるのですが。
解き方と解く上での基本事項を教えていただけませんか？
(大学受験生)

---

3071．Re: 極限の問題名前：D Slender@管理人    日付：2003年6月8日(日) 0時40分
「解き方と解く上での基本事項を」とありますので、
今は解答を最後まで書かずに方針（ヒント）に留めます。

以下、e^{x}*f(x)をF(x)と記すことにします。仮定されている条件は
　 任意の実数x,hに対し、F(x+h)-F(x)≦h^2　…[1]
ですね。
[前半]　証明すべきことは、
　 任意の実数x,ｈに対し、F(x+h)-F(x)≧-h^2　…[2]
です。[1]から[2]を直接導くこともできるかも知れません。
個人的には背理法的に示す方が解りやすいように思います。
背理法でやる場合は[2]を否定して[1]との矛盾を導くことになります。
念のため条件[2]の否定を書いておくと、
　 ある実数a,bに対しF(a+b)-F(a)＜-b^2
のようになります。

[後半]　前半終了に伴い
　 任意の実数x,hに対し、|F(x+h)-F(x)|≦h^2　…[2]
が示されたことになります。

この式は確かに
＞微分の定義式の形によく似ている
わけですが、このような条件式から関数を決定する問題では、
教科書に載っている微分可能性の定義
　 f(x)がx=aで微分可能　⇔　lim_[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hが有限の値に確定
に持ち込もう、と考えると良いと思います。
実際、大学入試レベルでのこの種の問題は、微分可能性の仮定が無くても、
結局は定義域全体で微分可能であることを示せるように作られていることが
多いと思われるからです（例外はあり得ますけどね）

では、本問に話を戻します。[2]から微分の定義に持ち込もうと考えると、
両辺を|h|で割ることにより、任意の実数xとh(≠0)に対し
　 |(F(x+h)-F(x))/h|≦|h|
すると…

あとはご自分で考えて、分からないことがありましたら返信を下さい。
http://www.dslender.com/

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3072．Re: 極限の問題名前：macsyma2e    日付：2003年6月8日(日) 0時51分
＞ [1]から[2]を直接導く
例えば h，x を順に -h，x+h とすれば良いですね．

---

3073．3071.について若干の訂正と補足名前：D Slender@管理人    日付：2003年6月8日(日) 2時41分
>>momomoさん
3071.で式番号を付け間違えてしまいましたが、多分読解には
支障がないと思います。適当に付け替えてお読みください。

>>macsyma2eさん
補足ありがとうございます。

3071.で私は直接導く方法を敢えて封印したのですが（理由はすぐ後で）
「直接導くこともできるかも知れません」と書いたのはまずかったですね。
「直接導くこともできるでしょうが」位の表現にしておくべきでした。

>>再びmomomoさん（私が[前半]であえて遠回りした理由と解答です）
まず、この問題は大半の高校生にとって初見では難しいと思いました。
そして、[1]から[2]を導こうと思った際、3072.のような置き換えを
発想できる高校生は更に少数派であろうと判断しました。
問題を解く能力の高い方々には信じられないかも知れませんが、現実にはそんなものだと感じます。
実は私自身、直接の置き換えには後から気づきました(爆)
その点、背理法的に
　 ある実数a,bに対しF(a+b)-F(a)＜-b^2　[★]
を仮定すれば、この式と[1]の式F(x+h)-F(x)≦h^2とが“連立”しますから、
より見通しがよくなるかと。両式をぐっと睨み、矛盾を示すにはどうすれば…と考えると、
[★]の両辺に-1をかけて、F(a)-F(a+b)＞b^2（お、これで[1]の形に近づいた！）
この時点でようやく、[1]のhを[★]での-bとみなせば良いと気づいて、
　 F((a+b)+(-b))-F(a+b)＞(-b)^2
これは[1]と矛盾。以上、結果的に前半の答えを書いたことになります。
まあ、ここまで辿り着ければ、私のようにやや迂遠な解法を採った人でも、
直接の置き換えで示せることには気づくでしょう

最後に、質問掲示板は原則として質問者と回答者との対話の場であるべきだと思います。
ですから、本来はこのレスも専らmomomoさんの為に書かれるべきなのですが、
弁解めいた余分な記述をまじえてしまったことをお詫びいたします。
分からないことがありましたらご遠慮なく返信を下さい。
http://www.dslender.com/

---

3076．Re: 極限の問題名前：macsyma2e    日付：2003年6月8日(日) 10時32分
＞ 3072.のような置き換えを
＞ 発想できる高校生は更に少数派であろうと判断
そうでしたか，．．．お詫びを兼ねまして
任意の実数 a，b，正整数 n，非負整数 k に対し
x(k)＝a+(b-a)*k/n とおくと
|f(b)−f(a)|
＝| Σ_{k=1}^{n} ( f(x(k))−f(x(k-1)) ) |
≦Σ_{k=1}^{n} | f(x(k))−f(x(k-1)) |
≦Σ_{k=1}^{n} ( x(k)−x(k-1) )^{2}
＝(b-a)^{2}/n．

---

3077．Re: 極限の問題名前：momomo    日付：2003年6月8日(日) 12時10分
どうもありがとうございます。

＞h，x を順に -h，x+h とすれば良い
うう、思いつかないよぅ。
＞問題を解く能力の高い方々には信じられないかも知れませんが、現実にはそんなものだと感じます。
ええっ！？そんなものなのか。信じられないような話だったなんて。(驚）
macsyma2eさん。式の意味がまったく理解できませんー。(泣）これは何をやっているの？

前半はわかりました。OKです。どうもありがとうございました。

後半ですが
　 |(F(x+h)-F(x))/h|≦|h|
lim[h→0]|(F(x+h)-F(x))/h|＝Ｆ'(x)
lim[h→0]|h|＝0
Ｆ'(x)＝0（でいいの？）
e^{x}f(x)+e^{x}f'(x)=0
f(x)=-f'(x)
f(0)=-f'(0)=1
????
ここからｆ(x)がでるのでしょうか？
(大学受験生)

---

3078．微分して0になる関数は定数関数名前：D Slender@管理人    日付：2003年6月8日(日) 12時38分
後半について
Ｆ'(x)＝0は合っています。
ここから、F(x)=C（Cは定数）
すなわちe^{x}f(x)=Ｃが得られます。
これにx=0を代入すると、条件f(0)=1より、C=e^{0}=1と判り、
結局f(x)=1/e^{x}という答えが得られます。

あと、macsyma2eさんの3076.は前半部分の別解です。
三角不等式などを上手く使い、元の問題の要求よりも強い条件の
導出に成功している見事な解答です。

ところで、macsyma2eさんには「前半の別解」だということを
3076.に一言だけでも書き添えて欲しかったな、と思います。
（書き込みを頂いた時点でそのようにレスしようかとも思いましたが、
momomoさんのreplyをお待ちした次第です）
どんなに数学的に正しく見事な解答であっても、
式だけを眺めてその意味を理解できる域に到達できる人は、
（少なくとも大学受験生レベルでは）少数派だと思われるからです。
（3073.の繰り返しのようになり恐縮ですが、）
質問者のためのスレッドですので、質問者の方が理解できるよう、
出来得る限りのご配慮をお願いしたいと存じます。
http://www.dslender.com/

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3086．Re: 極限の問題 名前：macsyma2e    日付：2003年6月8日(日) 20時21分
＞ ご配慮をお願いしたいと存じます
誠に申し訳ございませんでした．

＞ 3076.は前半部分の別解
ではなく，後半の証明でした．

3129．整数論の問題で…。名前：Red cat    日付：2003年6月9日(月) 19時27分
記事が古くなっているので、問題を再掲します。
√100さんの質問
--質問ここから--
(1)　0でない2つの整数a,bの最大公約数をdとするときdは適当な整数
r,sによってd=ra+sbとあらわせることを証明せよ。

というのと、

(2)　a,bを0でない整数とし、dをa,bの最大公約数とすると、集合
｛ma+nb|m,nは整数｝は、dの倍数全体の集合、つまり｛kd|kは整数｝
と一致することを証明せよ。

という2つの証明問題が分からないのですが…教えてください
--質問ここまで--
これと同じ問題について質問をしている方が他サイトにいらっしゃっ
たので、回転する「考える人」さんの回答を参考にしてもらおうと、
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=2533
を紹介してあげたのです。そうしたら、他の回答者の方から「設問の
誘導を無視した回答」と言われてしまったのです。これってどうなん
でしょう?＞皆様
(社会人)

---

3133．Re: 整数論の問題で…。名前：我疑う故に存在する我    日付：2003年6月9日(月) 21時3分
ここはやはり、有理整数環はユークリッド環である、従って任意のイデアルは単項イデアルであると言う事を、専門用語を使わずに易しく解説した方がいいんじゃないんでしょうか？

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3137．Re: 整数論の問題で…。名前：ast    日付：2003年6月9日(月) 21時23分 というか, その問題, 最近あちこちで見かけます.
そして, あちこちで回答がついているので, もうなんともいえません.
見かけた解答はほとんどが互除法でしたけど.

記号, 問題文, まったくと言って良いほど同一ですので,
時期が集中していることも踏まえれば, ちょっと別のことを
疑いたくなりますね.

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3139．Re: 整数論の問題で…。名前：Red cat    日付：2003年6月9日(月) 21時44分
＞記号, 問題文, まったくと言って良いほど同一ですので,
＞時期が集中していることも踏まえれば, ちょっと別のことを
＞疑いたくなりますね
時間差マルチポスト…?
ただ、ここではマルチポストはOKですからねぇ。
#「あっち」では一言断る必要がありますが。

それはそれとして、私は「設問の誘導」を、単純に
「(1)を解いた上で、それをヒントにして(2)を解く」
と解釈しました。
#「あっち」では質問者は高校生ですから、「設問の誘導」と言えば
#それ以上の意味はないと思うんですが…。
しかし、私にケチ(?)をつけたその方は
＞ideal による誘導に対し
とのたまうのです。私は、回転する「考える人」さんの解答は、
互除法を使わず、しかも明快でわかりやすいと思うのです。
しかも、ちゃんと最初に(1)を解いた上で、それをヒントにして(2)を
どう解くかについてのヒントも与えています。そのことを相手に
伝えようと思ったのに、返ってきた言葉は
＞それが設問の誘導を無視する理由ですか
もはや相手が何を言いたいのかわかりません。当の本人は、(2)だけ
示せば十分とばかりに、以下のような解答をしていました。
--ここから--
Ｚ＝整数全体の集合，Ａ＝{ ax+by | x，y∈Ｚ }，Ｂ＝{ kd | k∈Ｚ } とおくと
d∈Ｂ ゆえ Ａ＝Ｂ を示せば十分．

Ａ は正の要素を持つから，正の最小の要素も持ち，それを aX+bY とおくと
k∈Ｚ ⇒ kX，kY∈Ｚ ゆえ { k(aX+bY) | k∈Ｚ }⊂Ａ，
x，y∈Ｚ ⇒ ax+by を aX+bY で割った余り＝0 ゆえ Ａ⊂{ k(aX+bY) | k∈Ｚ }，
つまり Ａ＝{ k(aX+bY) | k∈Ｚ }．

これと a，b∈Ａ より aX+bY は a，b の公約数ゆえ aX+bY は d の約数，
a＝Ad，b＝Bd なる整数 A，B が存在するゆえ d は aX+bY の約数，
つまり aX+bY=d．
--ここまで--
ちなみに質問者の学年は高1とのことです。
これって、高1で理解できますかね?
#できる人はできるでしょうが。
(社会人)

---

3150．Re: 整数論の問題で…。名前：D Slender@管理人    日付：2003年6月10日(火) 4時42分
まず、本題とは関係ないですが、質問者との対話を目的としない「議論」をしたくなった際には、
このように別topicを立ててそこで議論するのが好ましいかも知れませんね。
#「議論」によって却って質問者が混乱する可能性があるからです。

さて、この問題文の(2)だけを眺めると、作成なさった高校の先生(でいいのかな)が
「有理整数環はユークリッド環」の証明を意識して作問していることは明白ですが、
わざわざ(1)を付けてますからねえ。
やはり回転する「考える人」さんの解答のように解かれることが想定されていると思います。
ですから、この質問に対しては、まずは(1)から順番に解く解法を紹介するのが順当でしょう。

＞これって、高1で理解できますかね?
「あちら」のサイトの某回答者さんのその説明で高１の方が理解できるか、と言うと、
99.999パーセント無理でしょう。
質問者が高１の方であることに対する配慮がまるで感じられない回答だと思います。
『分からなかったら追加質問してくれれば更に分かりやすく説明する』との
お考えなのかも知れませんが、最初にこんなレスを見せられると、
質問者の方が“回答者のレベルとのとてつもないギャップ”を感じ、
それに恐れをなして再質問できなくなり、結果としてマルチポスト、
という可能性すら大いにあると思います。
（某回答者氏は相当の数学の実力の持ち主のようですので、
数学が苦手な方の思考を十分に理解できないのでしょうね。
それは仕方のないことだとは思います）

ところで、高１の方に「本格的な証明」を懇切丁寧に説明したとすればどうでしょう。
何とか理解に到達できる可能性は格段に高まるとは思いますが、
それでも尚、かなり優秀な方に限られるとは思います。

質問掲示板には、様々な学年、境遇の方々が訪れます。
質問に対し、最初にどのようなレスをするかは重要だと思っています。
こちらの回答者の皆様には、当BBSの注意事項をお読み頂いた上、
質問なさる方への十分な配慮をお願いしたいと思います。
http://www.dslender.com/

---

3152．Re: 整数論の問題で…。名前：我疑う故に存在する我    日付：2003年6月10日(火) 13時4分 http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=2533

をもう１度検討してみました。

>「 i ｂ， j ｂ（１≦ｉ＜ｊ≦ａ）を ａ で 割った余りが同じ」　…☆
　 と仮定すると， j ｂ− i ｂ＝（ j − i ）ｂ は ａで割り切れる
　 ことになる．ここで
　　　 「ａ，ｂ が互いに素である」
　　　 「 ０＜ j − i ＜ａ より　j − i は ａ の倍数でない」
　 であることを考えると，☆は不合理となるからである．

この

>☆は不合理となるからである．

が、簡単には導かれない。少なくとも素因数分解の１意性か何か仮定しないと。
素因数分解の１意性は、証明無しで事実として認めて使っていると言う事を高校生に認識させる事も大事である。(と私は思う。)

やはりユークリッド環(互除法)が良いかと。

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3155．Re: 整数論の問題で…。名前：Red cat    日付：2003年6月10日(火) 14時51分
＞素因数分解の一意性は、証明無しで事実として認めて使っていると
＞いう事を高校生に認識させる事も大事である。
そうですね。逆に言えば、「素因数分解の一意性」は、認識さえさせ
れば、後は自由に使ってかまわないと思います(高校までは)。

せっかく別スレ立てたので、少し高度な話をすると、有理整数環
Zは、「Euclid環」と呼ばれる環になっています。「Euclidの
互除法」は、Euclid環であるということを本質的に要求します。
#同じく互除法が使える環としてk[x](体kを係数とする一変数多項式
#環)などがあります。
Euclid環ならば単項ideal整域であり、単項ideal整域ならば一意分解
環なので、互除法が使える環境では、基本的に素元分解の一意性も
成り立っています。ただ、それを証明するのは、大学の環論レベルで
す。

そういう意味では、高校までは、この辺のややこしい話は鵜呑みにし
てしまってもいいのかな、と思います。
#くどいようですが、認識はさせるべきだと思います。
(社会人)

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3156．参考までに名前：Red cat    日付：2003年6月10日(火) 15時10分
今回話題にした元スレです。
「★Scintillation(数学/数学掲示板)★」の「高校・高専1〜3年数学
質問掲示板」より

http://www.yuki.to/math2/prybbs.html?mode=res&no=4859

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3157．失礼しました。名前：Red cat    日付：2003年6月10日(火) 15時13分
No.3156のリンクですが、一度Topに飛ばされます。
「証明(数Aの範囲でお願いします)」という質問名のスレです。

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3162．参考見ました名前：我疑う故に存在する我    日付：2003年6月10日(火) 18時45分
トップには飛びませんでした。(トップに来ていたから)
それが設問の誘導を無視する理由ですか．．．
設問の誘導、誘導を無視する・・・意味が分かったような、分からないような･･･

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3163．Re: 整数論の問題で…。名前：わからんまん    日付：2003年6月10日(火) 19時58分
いちどユークリッドの互除法というのでといていただけますか？
(高校２年)

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3174．Re: 整数論の問題で…。名前：Red cat    日付：2003年6月11日(水) 5時35分
無駄に早起きしてしまったので、こんな時間に出没しております^^;
■わからんまんさん
＞いちどユークリッドの互除法というのでといていただけますか?
a,bは整数で、a＞b＞0としておきます。
#これで一般性が失われないことにご注意。
a=q_0・b+r_1(0≦r_1＜b)
b=q_1・r_1+r_2(0≦r_2＜r_1)
r_1=q_2・r_2+r_3(0≦r_3＜r_2)
…
r_(n-2)=q_(n-1)・r_(n-1)+r_n(0≦r_n＜r_(n-1))
r_(n-1)=q_n・r_n...(*)
という計算をしていきます。つまり、
「相手を割って余りを出し、その余りで自分を割って余りを出し、
その余りで…」
というのを繰り返していき、余りが出なくなったらストップします。
上の式では、ちょうど(*)式のところで余りが0になってストップ
していますが、このときaとbの最大公約数はr_nであることが証明さ
れます(詳しく証明しようとすると、帰納法が必要になるので省略し
ます)。そこで、r_n=dと置いて、上の計算を逆にたどっていけば、
d=sa+tb(s,tは整数)という形に表せる、ということが示せます。
[実例]
a=114,b=24の場合
114=4・24+18
24=1・18+6
18=3・6(余り0だからここでストップ)
よって、114と24の最大公約数は6.
逆にたどると、
6=24-18=24-(114-4・24)=(-1)・114+5・24
■その他の皆様
「互除法を用いる証明では、帰納法を明示的に必要とし、数Aの範囲
に含まれない」との意見を件のスレにていただいたのですが…。
私は古い人(苦笑)なので、数Aの範囲なんてさっぱりわからず。
どなたかご存知の方はいらっしゃいますでしょうか?
(社会人)

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3175．問題となった証明を検証してみましたが名前：Red cat    日付：2003年6月11日(水) 5時55分
＞x,y∈Z ⇒ ax+by を aX+bY で割った余り = 0
これって自明なんでしょうか(滝汗)。
#少なくとも、私が高1の時にこの証明を見せられたら、100%理解不能
#だったでしょう。
(社会人)

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3176．ああ、そうか…_|￣|○名前：Red cat    日付：2003年6月11日(水) 5時59分
＞＞x,y∈Z ⇒ ax+by を aX+bY で割った余り = 0
＞これって自明なんでしょうか(滝汗)。
冷静に考えたら証明できました…。
#でもやっぱり高1には難しいと思う。
(社会人)

7498．線形代数です。 名前：ひろ    日付：2003年12月27日(土) 5時2分
はじめまして。突然ですがお願いします。。

{v_1,v_2,･･･,v_r}, {w_1,w_2,･･･,w_s}がともにR^4の部分空間Ｗの基底ならば,r=sである。

基本的過ぎて逆に証明できなくなりました。。。よろしければ証明していただけませんか。
(大学１年)

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7503. 略答例です。名前：管理人DS@多忙モード全開　日付：2003年12月27日(土) 10時58分
仮にr＜sだとします。{v_1,v_2,・・・,v_r}は基底なので、
w_i(i=1,2,…,s)は全て{v_1,v_2,・・・,v_r}の１次結合で表せます。
この様子を適当なr×s行列Bを用いて、
[w_1,w_2,・・・,w_s]=[v_1,v_2,・・・,v_r]B
と表記できます。さて、Bは行より列の方が多い行列なので、
Bx=0, x≠0を満たす列ベクトルx∈R^sが存在します。
このxを両辺に掛けると
[w_1,w_2,・・・,w_s]x=[v_1,v_2,・・・,v_r]Bx
すなわち
[w_1,w_2,・・・,w_s]x=0, x≠0
これはw_1,w_2,・・・,w_sの１次独立性に反します

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7505.名前：macsyma2e　日付：2003年12月27日(土) 11時41分
＞ Bは行より列の方が多い行列なので、
＞ Bx=0, x≠0を満たす列ベクトルx∈R^sが存在
は「 R^r の s(>;r) 個のベクトルは一次従属 」の換言ですから．．．

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7518．削除理由＆掲示板回答者に求められること 名前：管理人DS    日付：2003年12月28日(日) 0時48分 >>某回答者氏へ
7505.を削除しました。
[理由]　
1.　意図不明（文面の意味は分かるけど、だから何？）
2.　質問者の方の理解に資する発言になっていないし、
質問者の方に何かを伝えようという意図すら感じられない。

[補足警告]
●　「このようなレスでも十分相手に伝わる」と思って書き込まれたのなら、
現状認識が余りにも不十分、貴殿は掲示板アドバイザとして不的確だと思う。
●　他の意図があって、故意に持って回った表現を使っているとしたら、
尚更看過できない。
●　貴殿には以前からそのような傾向があり、かつて、何度か暗に
貴殿を批判させて頂いたが、伝わっていないようなので、
今回は直接的表現で書かせて頂く。
●　今後、今回のようなレスを繰り返されるのなら、
もう当掲示板には書き込まないで頂きたい。
●　この書き込みの内容に対する一切の反論を認めません。

[追伸]
貴殿の天才的な数学の能力は賞賛に値すると思うが、
大衆向けの掲示板回答者にとって、そんな能力の重要性は、２の次３の次でしょう。
（質問に対し完答できるだけの能力は必要ですがね）
１番に重要なのは、質問者の状況や力量を的確に推測しアドバイス出来ること。
同等に重要なのは、質問者に意図を的確に伝える伝達能力。
個人的に色々な掲示板を見て思うことがひとつ。
天才的に数学が出来る人は、書き込みは相当に慎重になさった方がいい。
下手をすると、質問者を混乱させて終わり、になりかねない。
http://www.dslender.com/

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7519．ひろさんへ 名前：管理人DS    日付：2003年12月28日(日) 0時54分
昨日の昼に書いた内容には、あとで考えると数学的なエラーが存在した
ように思えますし、丁寧さにも欠けると思いましたので、大幅に書き直します。
大変にご迷惑をおかけしました。

どこまでの知識を既知としてよいかいまひとつ判然としないのですが、
次のような感じでどうでしょう。

[補題]　m個のベクトルa_1,a_2,…,a_mとn個のベクトルb_1,b_2,…,b_nに対し、
各b_j (j=1,2,…,n)がa_1,a_2,…,a_mの1次結合で表せて、
かつm＜nならば、b_1,b_2,…,b_nは1次従属である。
[証明]　
「各b_i (i=1,2,…,n)がa_1,a_2,…,a_mの1次結合で表せる」という条件より、
　 b_j=p_{1j}*a_1+p_{2j}*a_2+…+p_{mj}*a_m（i=1,2,…,n)　…[1]
を満たすような数p_{ij}（i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)が存在します。
これらの数でm×n行列P=(p_{ij})を作ると、[1]式は行列を用いて
　 [b_1,b_2,…,b_n]=[a_1,a_2,…,a_m]P　…[2]
と表せます。ところで、このPを列ベクトル表示
P=[p_1, p_2, …, p_n]（各p_j∈R^m）
で表すと、一般にR^mのベクトルn(＞m)個は１次従属だから
　 k_1*p_1+k_2*p_2+…+k_n*p_n=0, あるk_j≠0　…[3]
を満たす数の組(k_1,k_2,…,k_n)が存在します。この組を
列ベクトルx(∈R^s)で表すと[3]は
　 Px=0, x≠0
と表せます。このxを[2]の両辺に右からかけると、
[b_1,b_2,…,b_n]x=0, x≠0
これはb_1,b_2,…,b_nが1次従属であることを意味します。
（補題証終）

これを用いて、元の問題を証明します。
[問題]　{v_1,v_2,･･･,v_r}, {w_1,w_2,･･･,w_s}がともに
ベクトル空間Wの基底ならば,r=sであることを示せ。
[証明]　{v_1,v_2,･･･,v_r}が基底なので、補題より、
Wから取れる1次独立なベクトルの集合の要素の個数はr個以下。
これと、w_1,w_2,･･･,w_sの1次独立性より、s≦r
一方、{w_1,w_2,･･･,w_s}が基底なので、やはり補題より
Wから取れる1次独立なベクトルの集合の要素はs個以下。
これと、v_1,v_2,･･･,v_rの1次独立性より、r≦s
以上より、r=s
（証終）
http://www.dslender.com/

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7521． 名前：macsyma2e    日付：2003年12月28日(日) 0時54分
削除された私の発言は「R^mのベクトルn(＞m)個は１次従属」は，証明すべきことがらの換言ゆえ，それを論拠とするのは，如何なものか？ 直接，基底の置き換え定理の証明をご提示になるべきではないか？ というものでした．

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7555．Re: 線形代数です。 名前：ひろ    日付：2003年12月29日(月) 21時48分 管理人ＤＳさん。お礼が遅くなって申し訳ないです・・・
前の解答じゃダメなんですか＾＾；
すごく丁寧に解答していただいてありがとうございました

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7622．異例ですが、無期限の書き込みお断り宣言 名前：管理人DS    日付：2004年1月1日(木) 17時30分
遅れましたが、削除報告。
(HNを伏せる必要もないでしょうから)
7505.で触れたmacsyma2e氏から、12月28日の２時頃に
補足の書き込みが入りましたが、即、削除しました。理由は、
1.　依然として、質問者に対しての発言ではなく、
しかも質問者に通じるような内容ではなかったこと
（言いたいことが私にもよく判らんのです）
2.　自らの能力を驕るような（私に言わせれば）不遜な姿勢が感じられたこと

そこで、この度、macsyma2e氏の書き込みを
無期限でお断りすることに決めました。
当掲示板の運営方針に合わない回答者であると
私が判断したことが理由です。

氏は、過去、複数回に亘って、
質問者の立場を無視するような回答をしたことがあります。

また、他サイト別HNにて、他の回答者の方に対して
禅問答のような持って回った表現で議論をふっかけているのを
何度か目撃しました。個人的に実に不愉快です。
（昨年の６月には当板で、名指しは避けましたが批判しました）

どんなに数学力があっても、質問者と対話できなければ回答者失格。
数学的に正当であっても、相手に全く伝わらなければ落書きと同価値。
そんな方針で運営しているのです。

今後、この数学BBSが存続する限り、一切の書き込みをお断りします。
他の方を巻き込む恐れがあるので、機械的なホスト規制はしませんが、
万一、氏からの書き込みを発見したら、理由や内容の如何を問わず削除します。

#本来なら、12/28に即対応すべきでしたが、多忙のため先延ばしにしました。
#また、可能ならば個人的なメールのやりとりで告知したかったのですが、
#アドレスが公開されていないので、止むを得ず、掲示板での告知
#という形をとらせていただきました。
#なお、この記事と、7518.は1/7いっぱいで削除します。
（アンチ数学至上主義の質問掲示板管理人）
http://www.dslender.com/